抽象代数学习笔记

抽象代数是研究代数结构（如群、环、域、向量空间等）及其性质的数学分支。通过对代数结构的研究，能够揭示其中的对称性、运算规律及其在各种数学和实际问题中的应用。

• note: 本笔记（基本）按照数院佬cutx64的手写笔记整理完成，标号有所不同，有额外加一些东西。
• 目前只整理到第一章，其他的部分看个乐子，如果发现任何地方有错误，欢迎评论or联系我！

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1. 群论（Group Theory）

1.1 群的定义

一个群是由集合 $G$ 和二元运算 $*$ 组成的代数结构，满足以下四个条件：

1. 封闭性（$G_1$）：对于任意 $a, b\in G$，有 $a * b \in G$ 。
2. 结合律（$G_2$）：对于任意 $a, b, c \in G$，有 $(a * b) * c = a * (b * c)$ 。
3. 单位元（$G_3$）：存在一个单位元 $e \in G$，使得对于任意 $a \in G$ ，有 $e * a = a * e = a$ 。
4. 逆元（$G_4$）：对于每个 $a \in G$，存在一个逆元 $a^{-1} \in G$ ，使得 $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ 。

则称 $G$ 关于群运算 $*$ 构成一个群，记为 $( G , * )$ 或简记为 $G$ 。

成立 $G_1$ 的集合 $G$ 称为原群；成立 $G_1$ 和 $G_2$ 的集合 $G$ 称为半群；成立 $G_1$ 、 $G_2$ 和 $G_3$ 的集合 $G$ 称为幺半群。对于一个只满足乘法封闭性的原群 $M$ ，若 $M$ 满足可除性。（即对于 $a,b\in M$ ，方程 $x * a = b$ 与 $a * y = b$ 均有唯一解），则称 $M$ 为拟群；若拟群 $M$ 含有单位元，则称 $M$ 为圈。

• 下面介绍几类重要的群：

1. 整数加群：
   整数集 $\mathbb{Z}$ 对于整数的加法构成整数加群 $( \mathbb{Z} , +)$，其单位元为 0，逆元为相反数。
   同理，$\mathbb{Q} , \mathbb{R} , \mathbb{C}$ 对于加法也分别构成加群。
   但整数集对于整数的乘法不构成群。

2. 非零实数乘法群：
   非零实数集 $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ 对于实数的乘法构成乘法群，其单位元为 1，逆元为倒数。
   同理，全体非零有理数 $\mathbb{Q}^*$ 和全体非零复数 $\mathbb{C}^*$ 对于乘法也构成群。

3. 复平面上的单位圆群：
   复平面 $\mathbb{C}$ 上的单位圆 $S^1 = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}$ 对于复数的乘法构成单位圆群。

4. 模 $n$ 剩余类加群：
   设 $n$ 是一个确定的正整数，对于任意整数 $a$，可以定义一个整数类的子集为 $[a] := \{a + kn \mid k \in \mathbb{Z} \}$，该集合称为（所属的）模 $n$ 剩余类。
   带有运算 $[a] + [b] = [a + b]$，则模 $n$ 残余类是良定义的，且 $n \mathbb{Z}$ 为加法构成群。
   用 $Z_n = \{[0], [1], \dots, [n-1] \}$ 表示所有的模 $n$ 剩余类的集合。

5. 图形的对称群：
   设 $T$ 是欧几里得空间的一个子集，将 $T$ 映射成自身的正交变换的全体关于变换的复合构成一个群，称为图形 $T$ 的对称群。记作 $\text{Sym}(T) = \{ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \mid f(T) = T \}$ ,$f$ 是正交变换，其运算即为变换的复合。

6. 二面体群：
   在实平面上，保持正 $n$ 边形 ( $n \geq 3$ ) 形状的全体正交变换的集合 $D_n$ 按照变换的复合构成的群，称为二面体群，包含 $2n$ 个元素，分别是 $n$ 个旋转变换和 $n$ 个反射变换。

7. 对称群和变换群：
   设 $M$ 是一个非空集合，$S(M)$ 是 $M$ 的所有一一变换构成的集合。规定该集合上面的二元运算为变换的复合，即对于 $f, g \in S(M)$，有 $(gf)(m) = g(f(m))$。
   可以验证这样的运算下，$S(M)$ 构成一个群，其单位元为恒等变换 $1_M$，逆元是变换的逆变换。$S(M)$ 称为 $M$ 的对称群，$S(M)$ 的所有子群统称为变换群。

1.2 群的轮换和置换

1.2.1 定义（置换和对换）

• 设 $(i_1, i_2, \dots, i_n)$ 表示 $1$ 到 $n$ 的排列，则置换

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ i_1 & i_2 &i_3 & \dots & i_n \end{pmatrix}$$

是 $n$ 元有限集 $T = \{1, 2, \dots, n\}$ 上的一个双射变换，使得 $1 \to i_1, 2 \to i_2, \dots, n \to i_n$。若 $i_1, i_2, \dots, i_k \in \{1, 2, \dots, n\}$，使得 $\sigma(i_1) = i_2, \sigma(i_2) = i_3, \dots, \sigma(i_k) = i_1$ 且 $i_1, i_2, \dots, i_k$ 之外的元素在 $\sigma$ 下都保持不变，则称 $\sigma$ 是 $i_1, i_2, \dots, i_k$ 的对换，其中 $k$ 是轮换的长度。长度为 $2$ 的轮换称为对换，长度为 $1$ 的轮换即为恒等变换，记作 $\mathbf{1}$。

• 如果两个轮换 $(i_1, i_2, \dots, i_k)$ 和 $(j_1, j_2, \dots, j_l)$ 没有相同数字，即 $i_k \notin \{j_1, j_2, \dots, j_l\}$，则称这两个轮换不相交。

• 可以将 $n$ 次对称群表示为

$$S_n = \{ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_1 & i_2 & \dots & i_n \end{pmatrix} | i_1, \dots , i_n \text{ 是 } 1 \text{ 到 } n \text{ 的排列} \}$$

其中置换按从左到右（置换）是一种左作用。例如，$(12)(13) = (132)$。

1.2.2 性质（置换和轮换的性质）

1. 如果 $\sigma, \tau$ 是 $S_n$ 中两不相交的轮换，则 $\sigma \tau = \tau \sigma$。

2. 除恒等置换外，$S_n$ 中的任何一个置换都可以（不计顺序的意义下）唯一地分解为不相交的轮换的乘积。

3. 任何一个轮换都可以分解为若干对换的乘积，且从任何一个置换都可以分解为若干对换的乘积。

4. 任一给定的置换分解为对换的乘积时，无论以何种分解方式，得到的对换个数奇偶性不变。

1.2.3 交错群

如果一个置换等于偶数个对换的乘积，则称之为偶置换，否则为奇置换。$S_n$中所有偶置换构成的集合，按照复合运算构成一个群，则成为 $n$次交错群 ，记为$A_n$,则有$|A_n|= \frac{n!}{2}$。

1.3 群的性质

1.3.1群的基本性质

设 $G$ 是一个群，则：

1. $G$ 的单位元唯一；
2. $G$ 中任意元素的逆元唯一；
3. $\forall a, b \in G$，有 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$；
4. $\forall a \in G$，有 $(a^{-1})^{-1} = a$；
5. $\forall a, b, c \in G$，若 $ab = ac$（或 $ba = ca$），则 $b = c$。

其中最后一条又称为左（右）消去律。

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1.3.2 有限半群成为群的充要条件

设 $G$ 是有限半群，则 $G$ 是群当且仅当其满足左消去律和右消去律。

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1.3.3 解的存在性

设 $G$ 是群，则 $\forall a, b \in G$，方程 $x \cdot a = b$ 与方程 $a \cdot y = b$ 在 $G$ 中都有解。

1.4 元素的幂

1.4.1 元素的幂

• 定义
  设 $G$ 是群，$a \in G$，$n \in \mathbb{N}^*$，定义 $a^n = a \cdot a \cdot \cdots \cdot a$（为共 $n$ 个 $a$ 的连续二元运算）。规定 $a^n = (a^{-1})^{-n}$ 且 $a^0 = 1$。

1.4.2 元素的幂运算性质

对于群中的元素 $a, b$ 和整数 $m, n$，有：

1. $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$；
2. $a^{mn} = (a^m)^n$；
3. 如果 $ab = ba$，则 $(ab)^n = a^n \cdot b^n$。

1.5 左作用、右作用和共轭作用

固定群中的某个元素 $a \in G$，则 $\forall x \in G$，定义如下三个映射：

1. $x \to a \cdot x$；
2. $x \to x \cdot a$；
3. $x \to a^{-1} \cdot x \cdot a$。

它们均为双射，分别称为 左作用、右作用 和 共轭作用。
由此定义左作用 $G \to aG$，右作用 $G \to Ga$，共轭作用 $G \to a^{-1}Ga$ 均为双射。

1.6 循环群与群的阶

群的阶：

设 $G$ 是群，$G$ 中元素的个数称为群 $G$ 的阶，记作 $|G|$。
有限群的阶为正整数；无限群的阶为无穷大。

元素的阶

设 $G$ 是一个群，$a \in G$，定义 $a$ 的阶为使得 $a^n = 1$ 成立的最小正整数。
若这样的数不存在，则称 $a$ 的阶为无穷大。通常 $a$ 的阶记为 $|a|$ 或 $\operatorname{ord}(a)$。

从上述定义来看，元素 $a$ 的阶就是 $a$ 所生成的子群的阶，即 $|a| = |\langle a \rangle|$。

阶的性质

设 $G$ 是群，$a \in G$，则：

1. 若 $G$ 是有限群，则 $|a| < \infty$，且 $|a| \mid |G|$；
2. 若 $a = 1$，则 $|a| = 1$；
3. 若 $|a| < \infty$，则 $|a^t| = \frac{|a|}{\gcd(t, |a|)}$；
4. 若 $|a| = m < \infty$，$|b| = n < \infty$，$ab = ba$ 且 $\gcd(m, n) = 1$，则 $|ab| = mn$；
5. 若 $|a| = n < \infty$，则 $a^i = a^j$ 当且仅当 $i \equiv j \pmod{n}$；
6. 若 $|a| = \infty$，则 $a^i = a^j$ 当且仅当 $i = j$；
7. $|a| = |a^{-1}|$；
8. 对于 $\forall a, b \in G$，有 $|o(ab)| = |o(ba)|$。

群的方次数

群$G$的所有元素的阶的最小公倍数成为群的方次数。记作$exp(G)$，若不存在则为$\infty$。

循环群：

若存在一个元素 $g \in G$，使得 $G = \langle g \rangle = \{ g^n : n \in \mathbb{Z} \}$，一个群 $G$ 被称为循环群。
如果生成元的阶为$m$，则循环群可以表示为 $\langle a \rangle = \{ 1,a^1,a^2... , a^{m-1} \}$ 。
由定义知，整数加群 $(\mathbb{Z},+)= \langle1\rangle$ 是无限循环群；模 $n$ 剩余类加群 $(\mathbb{Z}_n,+)$ 是 $n$ 阶循环群。

性质
循环群都是交换群

有限交换群是循环群的判定
若群$G$是有限交换群，则$G$是循环群当且仅当$exp(G)=|G|$。

1.7 子群与陪集

子群的定义

一个子集 $H$ 被称为群 $G$ 的子群，如果它本身满足群的四个公理：

• 封闭性：对于任意 $a, b \in H$，$a * b \in H$。
• 单位元：$H$ 包含 $G$ 的单位元 $e$。
• 逆元：对于每个 $a \in H$，有 $a^{-1} \in H$。

陪集：

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，且 $g \in G$，则左陪集定义为：

$$gH = \{ g * h : h \in H \}$$

右陪集定义为：

$$Hg = \{ h * g : h \in H \}$$

• 正规子群：如果 $gH = Hg$ 对于任意 $g \in G$ 都成立，则称 $H$ 为正规子群，记作 $H \triangleleft G$。

Lagrange定理

定理：设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，那么 $H$ 的阶（即 $H$ 中元素的个数）整除 $G$ 的阶。

证明：
设 $|G| = n$，$|H| = m$。由于 $H$ 是 $G$ 的子群，$H$ 的元素按照左陪集划分 $G$，即 $G$ 可以表示为有限个左陪集的并集：

$$G = \bigcup_{i=1}^{k} g_i H$$

每个陪集 $g_i H$ 都与 $H$ 相等，且每个陪集都有 $m$ 个元素。由于这些陪集是互不重叠的，且整个 $G$ 的元素个数为 $n$，所以我们有：

$$n = k \cdot m$$

因此，$m$（即 $H$ 的阶）必须整除 $n$（即 $G$ 的阶）。

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1.8 群同态与同构

群同态：

一个映射 $\phi : G \to H$ 是群同态，若对于任意 $a, b \in G$，有：

$$\phi(a * b) = \phi(a) * \phi(b)$$

群同构：

如果存在群同态 $\phi : G \to H$，且 $\phi$ 是双射（即存在逆映射），则称 $G$ 和 $H$ 是同构群，记作 $G \cong H$。群同构表示两个群在结构上是相同的。

第一同态定理：

设 $\phi: G \to H$ 是一个群同态，$K = \ker(\phi)$ 是 $\phi$ 的核，即 $K = \{g \in G : \phi(g) = e_H\}$，则有以下等式：

$$G / \ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$$

证明：
映射 $\tilde{\phi}: G / \ker(\phi) \to \text{Im}(\phi)$ 定义为 $\tilde{\phi}(g \ker(\phi)) = \phi(g)$。这个映射是一个同态，且它是双射的，因此得出结论 $G / \ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$。

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1.9 群的直积与置换群

直积：

设 $G_1, G_2, \dots, G_n$ 是若干群，它们的直积群定义为：

$$G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n = \{ (g_1, g_2, \dots, g_n) : g_i \in G_i \}$$

直积群的阶是每个群元素个数的乘积。

置换群：

置换群 $S_n$ 是由 $n$ 个元素的所有置换（即所有可能的排列）组成的群。它的阶为 $n!$，即所有置换的个数。

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1.10 群的Sylow定理

Sylow定理是群论中的一个重要定理，它描述了有限群中$p$-Sylow子群的存在性和性质。

定理：

设 $G$ 是一个有限群，$p$ 是素数，$|G| = p^m \cdot n$，其中 $n$ 和 $p$ 互质（即 $\gcd(p, n) = 1$）。那么 $G$ 中存在一个阶为 $p^m$ 的Sylow子群。

• Sylow $p$-子群的个数：设 $n_p$ 为 $G$ 中Sylow $p$-子群的个数，则 $n_p \equiv 1 \pmod{p}$，并且 $n_p$ 整除 $n$。

证明：

步骤 1：构造 Sylow $p$-子群的陪集

假设群 $G$ 的阶为 $|G| = p^m \cdot n$，其中 $p$ 是素数，$n$ 和 $p$ 互质（即 $\gcd(p, n) = 1$）。我们首先需要证明 $G$ 中存在一个 Sylow $p$-子群 $P$，它的阶为 $p^m$。
考虑群 $G$ 中的所有阶为 $p^m$ 的子群的集合。设这些子群的集合为 $S$。我们将利用陪集的概念来研究这些 Sylow $p$-子群。

首先，考虑群 $G$ 中的每一个 Sylow $p$-子群 $P$。若 $G$ 中有多个 Sylow $p$-子群，这些子群的并集可以被划分为多个左陪集。即我们可以将 $G$ 分解为若干个左陪集，每个左陪集的大小等于 $P$ 的阶。

设 Sylow $p$-子群的个数为 $n_p$，则群 $G$ 被分解成 $n_p$ 个左陪集。我们可以得到以下的等式：

$$G = \bigcup_{i=1}^{n_p} g_i P$$

其中每个陪集的大小为 $p^m$，因此：

$$|G| = n_p \cdot p^m$$

步骤 2：推导 Sylow $p$-子群的个数 $n_p$

由于 $|G| = p^m \cdot n$，结合上述公式，我们得到：

$$n_p \cdot p^m = p^m \cdot n$$

从中可以推导出：

$$n_p = n$$

所以，Sylow $p$-子群的个数 $n_p$ 就是 $n$，并且显然 $n_p$ 整除 $n$。

步骤 3：求解 Sylow $p$-子群的个数模 $p$

接下来，我们要证明 $n_p \equiv 1 \pmod{p}$。为了做到这一点，我们考虑群 $G$ 对 $P$ 的作用。

通过群作用的理论，可以证明，在群 $G$ 中，所有 Sylow $p$-子群之间的左陪集数目 $n_p$ 满足以下条件：

$$n_p \equiv 1 \pmod{p}$$

这一结论可以通过利用群的结构与陪集的数量来得到。特别地，Sylow $p$-子群的个数 $n_p$ 满足 $n_p \equiv 1 \pmod{p}$。

结论：

因此，群 $G$ 中必定存在一个阶为 $p^m$ 的 Sylow $p$-子群，且 Sylow $p$-子群的个数 $n_p$ 满足以下条件：

1. $n_p \equiv 1 \pmod{p}$；
2. $n_p$ 整除 $n$。

1.11 自由群

自由群的定义：

一个群 $F$ 被称为自由群，如果它是由一个集合（即自由生成集）生成的群，并且该生成集的元素在群中的任意关系都是独立的。

定理：

自由群是具有“最少关系”的群，它可以被唯一地表示为某个集合的元素的“词”或“符号”组合。

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2. 环论（Ring Theory）

2.1 环的定义

一个环是一个集合 $R$，配备两个运算：加法和乘法，满足以下条件：

1. $(R, +)$ 是一个阿贝尔群。
2. 乘法对加法满足分配律：对于任意 $a, b, c \in R$，有：

   $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{以及} \quad (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$$

2.2 理想与商环

理想的定义：

一个子集 $I$ 被称为理想，如果对于任意 $r \in R$ 和 $i \in I$，都有 $r \cdot i \in I$ 和 $i \cdot r \in I$。

商环的构造：

设 $I$ 是环 $R$ 的理想，则商环 $R/I$ 由元素 $r + I$（即 $r \in R$ 的同余类）组成，且运算如下：

$$(r + I) + (s + I) = (r + s) + I, \quad (r + I) \cdot (s + I) = (r \cdot s) + I$$

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2.3 中国剩余定理

定理：设 $n_1, n_2, \dots, n_k$ 互质，则对于任意给定的整数 $a_1, a_2, \dots, a_k$，存在唯一一个 $x$，使得：

$$x \equiv a_1 \pmod{n_1}, \quad x \equiv a_2 \pmod{n_2}, \quad \dots, \quad x \equiv a_k \pmod{n_k}$$

证明：
通过构造一个合适的线性组合，使用扩展欧几里得算法，逐步找到满足同余条件的解。

2.4 整环与域

整环：

一个环 $R$ 被称为整环，如果它没有零因子，即对于任意 $a, b \in R$，如果 $a \cdot b = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$。

域：

一个环 $R$ 被称为域，如果对于每个非零元素 $a \in R$，都存在一个乘法逆元 $a^{-1} \in R$，即 $a \cdot a^{-1} = 1$。每个域都是整环，但并非所有整环都是域。

2.5 素理想与极大理想

素理想：

一个理想 $I$ 被称为素理想，如果对于任意 $a, b \in R$，如果 $a \cdot b \in I$，则 $a \in I$ 或 $b \in I$。

极大理想：

一个理想 $I$ 被称为极大理想，如果它不是任何其他理想的真子集。即如果 $I \subseteq J$ 且 $J$ 是理想，则 $I = J$ 或者 $J = R$。

2.6唯一因式分解环定理

定理：

一个整环 $R$ 是 唯一因式分解环（Unique Factorization Domain, UFD），如果每个非零的非单位元都可以唯一地表示为素元的积（不考虑顺序）。

定义：

• 素元：在整环 $R$ 中，如果一个元素 $p$ 满足以下条件：

  1. $p \neq 0$ 且 $p$ 不是单位元；
  2. 如果 $p$ 可以分解为 $a \cdot b$，则 $a$ 或 $b$ 必须是单位元。

  则称 $p$ 为素元。

• 因式分解：在整环 $R$ 中，一个元素 $a$ 可以表示为素元的积，若 $a = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$，其中每个 $p_i$ 都是素元。

• 唯一性：如果一个元素 $a$ 可以分解为多个素元的积，则这些素元的积是唯一的，不考虑顺序。

定理证明：

步骤 1：存在性

假设 $R$ 是一个整环。我们需要证明每个非零的非单位元 $a$ 都可以表示为素元的积。

基本步骤：我们使用数学归纳法来证明因式分解的存在性。

• 基础情况：假设 $a$ 是一个非零的非单位元。我们开始尝试因式分解它。如果 $a$ 不能再进一步分解成非单位元的积，则 $a$ 本身就是一个素元。

• 归纳步骤：假设所有小于某个元素 $a$ 的非零非单位元都可以因式分解为素元的积。那么，如果 $a$ 可以进一步分解为两个元素的积，即 $a = bc$，其中 $b$ 和 $c$ 都是非单位元，则通过归纳假设，$b$ 和 $c$ 都可以分解为素元的积。因此，$a$ 也可以分解为素元的积。

由此，每个非零的非单位元都可以因式分解为素元的积，证明了存在性。

步骤 2：唯一性

为了证明唯一性，我们假设元素 $a$ 可以有两种不同的素元分解形式：

$$a = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_l$$

其中，$p_1, p_2, \dots, p_k$ 和 $q_1, q_2, \dots, q_l$ 都是素元。我们需要证明 $\{p_1, p_2, \dots, p_k\}$ 和 $\{q_1, q_2, \dots, q_l\}$ 只是顺序不同，且它们的元素是相同的。

1. 唯一因子分解的条件：根据整环的定义，每个元素都可以分解为素元的积。为了证明唯一性，我们需要使用素元的不可约性。假设元素 $p_1$ 在第二个分解中有某个素因子 $q_i$，我们可以利用素元的不可约性进行归约，最终得到两个分解的元素是相同的。

2. 公因子：通过不断消去公因子（由于素元的不可约性），我们可以推导出两个分解包含的素因子集合必须是相同的，且这些因子只是顺序不同。

3. 结果：由此可得，两个分解是唯一的，不考虑顺序。

结论：

因此，整环 $R$ 是一个 唯一因式分解环（UFD），即每个非零非单位元都可以唯一地表示为素元的积，且该表示不考虑顺序。

2.7 高斯整数与二平方和

高斯整数：

高斯整数是形如 $a + bi$ 的复数，其中 $a, b$ 为整数，$i$ 为虚数单位。高斯整数构成一个整环，可以进行因式分解。

二平方和：

高斯整数环的因式分解理论也与二平方和定理相关。定理说明：任意正整数可以分解为两个平方数之和，当且仅当该数的所有素因子都满足特定的形态（即素因子为形如 $4k+3$ 的素数）。

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3. 域论（Field Theory）

3.1 域的定义

一个域是一个集合 $F$，配备两个运算：加法和乘法，满足以下条件：

1. $(F, +)$ 是一个阿贝尔群。
2. $(F \setminus \{0\}, \cdot)$ 是一个阿贝尔群，即非零元素构成一个乘法群。
3. 加法和乘法满足分配律。

3.2 域扩展理论

域扩展：

给定域 $F$ 和 $F$ 的扩展域 $E$，如果 $E$ 包含 $F$，并且 $E$ 是 $F$ 的向量空间，则称 $E$ 是 $F$ 的一个域扩展。域扩展的度是 $[E : F]$，表示 $E$ 作为 $F$ 向量空间的维度。

域扩展定理：

任意有限域的阶是某个素数的幂，即有限域的元素个数是素数的某次方。

证明：
设 $F$ 是有限域，$|F| = q$。由于 $F$ 是域，$F$ 中的非零元素形成一个阿贝尔群，根据群论的基本定理，该群的阶必定是素数的幂。所以，$|F| = p^k$，其中 $p$ 是素数，$k$ 是正整数。

最小多项式：

对于 $E$ 中的元素 $\alpha$，若 $\alpha$ 是 $F$ 的元素扩展，则存在一个关于 $\alpha$ 的最小多项式 $f(x)$，该多项式是不可约的，且有 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的根。

3.3 Galois理论

定理：Galois理论揭示了代数方程的解与其对称群之间的深刻关系。具体来说，给定代数方程的根的扩展域，其自动对称群（即Galois群）与该方程的解集之间存在着一一对应的关系。

Galois理论的证明

证明：

Galois理论的核心定理涉及代数扩展与群同构的深刻关系。具体地说，设 $K$ 是 $F$ 的代数扩展，我们可以通过群论的手段来描述该扩展的对称群（即 Galois 群）与扩展域 $K$ 的结构之间的关系。

设 $K/F$ 是代数扩展，$Gal(K/F)$ 表示 $K$ 相对于 $F$ 的 Galois 群，其元素是 $F$ 中的所有自动同构，即对 $K$ 中的元素进行同构映射，使得 $F$ 中的元素不发生变化。

第一步：构造扩展域和 Galois 群

1. 扩展域的定义：

• $K$ 是 $F$ 的代数扩展，意味着所有在 $K$ 中的元素都满足某个不可约多项式 $f(x) \in F[x]$。
• Galois 群 $Gal(K/F)$ 是 $K$ 到 $K$ 的所有同构映射集合，其中每个同构映射 $\sigma$ 满足：对于所有 $a \in F$，都有 $\sigma(a) = a$。换句话说，Galois 群的元素是将 $K$ 中的元素映射到 $K$ 中，并且对 $F$ 中的元素没有影响。

2. 扩展域的性质：

• 我们知道，任何代数扩展 $K$ 相对于基域 $F$ 都有一个自然的 Galois 群。这个群反映了 $K$ 中元素的对称性，尤其是在求解代数方程时，它能够展示方程的根如何通过对称映射相互联系。

第二步：证明 Galois 群与扩展域之间的关系

根据 Galois 理论的基本定理，设 $K/F$ 是一个代数扩展，并且 $H$ 是 $Gal(K/F)$ 的一个子群。那么，$K^H$ 定义为 $K$ 中所有在 $H$ 中每个元素作用下不变的元素集合，即：

$$K^H = \{ \alpha \in K \mid \sigma(\alpha) = \alpha \text{ 对于所有 } \sigma \in H \}$$

接下来，我们将证明 $K^H$ 是 $F$ 的子扩展，并且 $Gal(K^H/F)$ 与 $Gal(K/F)/H$ 同构。

1. $K^H$ 是 $F$ 的子扩展：

• 由于 $H$ 是 $Gal(K/F)$ 的子群，$H$ 的每个元素都是一个 $F$ 上的同构映射，因此 $K^H$ 中的每个元素都是 $F$ 中的元素的线性组合。
• 由于 $K^H$ 中的每个元素在 $H$ 的作用下不变，且每个同构映射保持 $F$ 中的元素不变，我们可以得出结论：$K^H$ 是 $F$ 的一个子扩展。

2. $Gal(K/F)/H$ 同构于 $Gal(K^H/F)$：

• 设 $K/F$ 是代数扩展，$H$ 是 $Gal(K/F)$ 的一个子群。我们通过构造同态映射来证明同构关系：

  • 对于 $Gal(K/F)$ 中的元素 $\sigma \in Gal(K/F)$，定义 $\tilde{\sigma}$ 为映射到 $Gal(K^H/F)$ 中的元素，即将 $\sigma$ 的作用限制在 $K^H$ 上：

    $$\tilde{\sigma} : K^H \to K^H, \quad \tilde{\sigma}(\alpha) = \sigma(\alpha) \text{ 对于所有 } \alpha \in K^H.$$

  • 由于 $H$ 是 $Gal(K/F)$ 的子群，对于 $H$ 中的元素 $\sigma$，$\tilde{\sigma}$ 仅作用于 $K^H$，而不改变 $F$ 中的元素，因此 $\tilde{\sigma}$ 是 $Gal(K^H/F)$ 中的一个同构映射。

• 通过对 $\sigma \in Gal(K/F)$ 构造这样的映射，我们可以证明，$Gal(K/F)$ 中的商群 $Gal(K/F)/H$ 与 $Gal(K^H/F)$ 同构。

第三步：总结

通过上述构造和证明，我们得出结论：对于代数扩展 $K/F$ 和其 Galois 群 $Gal(K/F)$，在 $Gal(K/F)$ 中的子群 $H$ 与 $K^H$ 之间存在着一种一一对应关系，且 $Gal(K/F)/H$ 同构于 $Gal(K^H/F)$。这就是 Galois 理论的核心内容。

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