Cutx64's solution of EAlg-Notes

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Chapter 7. 对角化

Problem 1. 设 $V$ 为有限维 $F-$向量空间, $T\in\mathrm{End}(V)$. 证明若 $V$ 的每个非零元都是 $T$ 的特征向量, 则存在 $\lambda\in F$ 使得 $T=\lambda\cdot\mathrm{id}_V$.

Solution ☆Lemma 设 $F$ 为无限域, $V_1,\ldots,V_m$ 为 $F$-线性空间 $V$ 的真子空间, 则 $\bigcup_{i=1}^mV_i$ 真包含于 $V$.

Proof

设 $T$ 的特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$, 其对应的特征空间依次为 $V_{\lambda_1},\ldots,V_{\lambda_i}$, 则有 $\sum_{i=1}^m\dim V_{\lambda_i}\le \dim V$ 且 $\bigcup_{i=1}^{m}V_{\lambda_i}=V$.

1. 若 $F$ 是有限域, 设 $\operatorname{char} F=n$, 则 $\sum_{i=1}^m\big|V_{\lambda_i}\big|=\sum_{i=1}^mn^{\dim V_{\lambda_i}}\le n^{\sum_{i=1}^m\dim V_{\lambda_i}}\le n^{\dim V}=|V|$, 当且仅当 $m=1$ 且 $V_{\lambda_1}=V$ 时等号成立;
2. 若 $F$ 是无限域, 由Lemma知当 $m\ge 2$ 时 $\bigcup_{i=1}^{m}V_{\lambda_i}\subsetneq V$, 矛盾, 因此 $m=1$.

因此有 $m=1$ 且 $V_{\lambda_1}=V$. 故存在 $\lambda\in F$ 使得 $T-\lambda\cdot \mathrm{id}_V=0$, 即 $T=\lambda\cdot \mathrm{id}_V$. ■

Problem 5. 满足 $A^2=A$ 的 $A\in \text{M}_{n\times n}(F)$ 称为幂等矩阵. 证明幂等矩阵总能对角化, 并且其特征值都属于 $\{0,1\}$.

Solution 幂等矩阵 $A$ 的极小多项式为 $f(x)=x^2-x$, 因此幂等矩阵在 $F$ 上的特征值只有 $0$ 和 $1$; 又因为 $f(x)$ 在域 $F$ 上分裂且无重根, 因此幂等矩阵均可对角化. ■

Problem 6. 设 $A,B\in\text{M}_{n\times n}(F)$. 证明若 $AB=BA$, 而且 $A$ 在 $F$ 上有 $n$ 个相异的特征值, 则存在多项式 $f\in F[X]$ 使得 $B=f(A)$.

Solution ☆Lemma 设 $A,B\in\text{M}_{n\times n}(F)$ 且 $A$ 在 $F$ 上有 $n$ 个相异的特征值, 若 $AB=BA$, 则 $A,B$ 可同步对角化.

Proof 设 $A=P^{-1}D_1P$, 其中 $P$ 是可逆矩阵且 $D_1$ 是对角矩阵, 因为 $A$ 的 $n$ 个特征值相异, 因此 $D_1$ 对角线上的元素各不相同. 设 $D_2=PBP^{-1}$, 则由 $AB=BA$ 知 $D_1D_2=D_2D_1$, 结合 $D_1$ 对角线元素互不相同知 $D_2$ 也是对角矩阵, 故 $A,B$ 可同步对角化. ■

由Lemma知 $A,B$ 可同步对角化. 设 $A=PA_1P^{-1},B=PB_1P^{-1}$, 其中 $A_1,B_1$ 为对角矩阵, 设 $V=\{D\in\text{M}_{n\times n}(F)|D是对角矩阵\}$, 则 $V$ 是 $F-$线性空间且 $\dim_FV=n$. 又由于 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值, 因此 $\{A_1^{0}, A_1^{1}, \cdots, A_1^{n-1}\}$ 构成 $V$ 的一组基, 因此存在 $c_0,c_1,\ldots,c_{n-1}\in F$ 使得 $B_1=\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_iA_1^{i}$, 即存在 $F[X]$ 中的多项式 $f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}$ 使得 $B=f(A)$. ■

Problem 7. 对所有列向量 $v,w\in F^n$ 确定 $n\times n$ 矩阵 $v\cdot \;\!{}^tw$ 的特征多项式, 讨论它可否对角化.

Solution 由 $X\operatorname{Char}_{v\cdot \;\!{}^tw}=X^n\operatorname{Char}_{\;\!{}^tw\cdot v}$ 知, $\operatorname{Char}_{v\cdot \;\!{}^tw}=X^{n-1}(X-\;\!{}^tw\cdot v)$. 设 $V=\{x\in F\mid v\;\!{}^tw\cdot x=0\}$, 则 $V=\{x\in F\mid \;\!{}^tw\cdot x=0\}$, 于是有 $\dim_FV=n-1$, 即特征值 $0$ 的几何重数为 $n-1$; 而其代数重数也是 $n-1$. 故 $v\cdot \;\!{}^tw$ 可对角化. ■

Problem 9. 设 $A\in\text{M}_{n\times n}(\mathbb C)$ 满足 $A^N=\textbf{1}_{n\times n}$, 其中 $N$ 是正整数, 说明 $A$ 可对角化. 另一方面, 举出 $A\in\text{M}_{2\times 2}(\mathbb F_2)$ 的例子, 使得 $A^2=\textbf{1}_{2\times 2}$ 而 $A$ 在 $\mathbb F_2$ 的任何扩域上都无法对角化.

Solution

1. 设多项式 $f(x)=x^N-1$, 则 $A$ 的极小多项式 $\operatorname{Min}_A\mid f(x)$. 由于 $f(x)$ 在 $\mathbb C$ 上的 $N$ 个根互不相同, 因此 $A$ 的极小多项式在 $\mathbb C$ 上无重根, 因此 $A$ 可在 $\mathbb C$ 上对角化.
2. 令 $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, 则 $A^2=\textbf{1}_{2\times 2}$, 因此 $A$ 在 $\mathbb F_2$ 上的极小多项式为 $\text{Min}_{A,\mathbb F_2}=x^2-1=(x+1)^2$. 因此对于任意的域扩张 $\mathbb F_{2^k}/\mathbb F_2$ 均有 $\text{Min}_{A,\mathbb F_{2^k}}=\text{Min}_{A,\mathbb F_{2}}=(x+1)^2$, 其在 $\mathbb F_{2^k}$ 上有重根, 因此 $A$ 在任意的 $\mathbb F_{2^k}$ 上均不可对角化. ■

Problem 11. 设 $V$ 为有限维 $\mathbb R-$向量空间, $V\neq \{0\}$, 而 $T\in\mathrm{End}(V)$. 证明或者 $T$ 有特征向量, 或者存在 $2$ 维的 $T-$不变子空间.

Solution 不妨设 $T$ 没有特征向量, 则其特征值均为复数. 考虑 $T$ 的极小多项式 $\text{Min}_{T}$, 则 $\text{Min}_{T}$ 可以拆分为若干个 $\mathbb R$ 上的二次式之积.

Problem 14. 设 $A\in\text{M}_{n\times n}(F)$ 幂零, 证明:

1. $A$ 的唯一特征值是 $0$,
2. $\operatorname{Char}_A=X^{n}$,
3. $A$ 可对角化当且仅当 $A=0_{n\times n}$.

Solution

1. 设 $A^{k}=0$. 若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值, 则 $\lambda^k$ 为 $A^k$ 的特征值, 而零矩阵的特征值只有 $0$, 因此 $\lambda=0$.
2. 由 $\deg \operatorname{Char}_A=n$ 且 $A$ 的特征值只有 $0$ 知 $\operatorname{Char}_A=X^n$;
3. 若 $A\neq 0$, 则特征值 $0$ 对应的特征子空间 $V$ 为 $F^{n}$ 的真子空间, 从而特征值 $0$ 的几何重数 $<n$; 但特征值 $0$ 的代数重数恒为 $n$, 因此此时 $A$ 不可对角化. ■

Problem 16. 证明 $A\in\text{M}_{n\times n}(F)$ 幂零当且仅当存在可逆的 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 是对角线全为 $0$ 的上三角矩阵.

Solution 必要性显然. 充分性; 由于幂零矩阵的特征多项式分裂, 因此幂零矩阵可上三角化, 其上三角化后即变为对角线全为 $0$ 的上三角矩阵. ■

Problem 17. 设 $A=\begin{pmatrix}a&\\&b\end{pmatrix}\in\text{M}_{2\times 2}(\mathbb R)$, 其中 $a\neq b$ 而且 $a<0$. 证明不存在 $B\in \text M_{2\times 2}(\mathbb R)$ 使得 $B^2=A$.

Solution $A$ 的特征值为 $\lambda_1=a,\lambda_2=b$. 若存在这样的 $B$, 设 $B$ 的特征值为 $\mu_1,\mu_2$, 则由 $B^2=A$ 知 $\mu_1^2=\lambda_1,\mu_2^2=\lambda_2$, 可以推出 $\mu_1,\mu_2$ 一个为实数, 另一个为虚数. 而 $\mu_1,\mu_2$ 为某实系数二次方程的两根, 这显然不合理. ■

Problem 18. 证明若 $\operatorname{Char}_A=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i)$, 则 $\operatorname{Char}_{A^{\lor}}=\prod_{i=1}^{n}(X-\Lambda_i)$, 其中 $\Lambda_i:=\lambda_1\cdots\lambda_{i-1}\lambda_{i+1}\cdots\lambda_{n}$.

Solution

Problem 20. 设 $A\in\text{M}_{m\times n}(F), B\in\text{M}_{n\times m}(F)$. 证明: $AB$ 和 $BA$ 具有相同的非零特征值.

Solution 设 $X\in F$, 则有

$$\begin{aligned} X^{-m}\det(XI_m-AB)&=\det(I_m-X^{-1}AB)\\ &=\det(I_n-X^{-1}BA)\\ &=X^{-n}\det(XI_n-BA) \end{aligned}$$

即有 $X^n\operatorname{Char}_{AB}=X^m\operatorname{Char}_{BA}$. ■

☆Problem 21. 设 $A,B\in\text{M}_{n\times n}(F)$. 证明如果它们的特征多项式均分裂, 而且 $AB=BA$, 则它们可以同步上三角化: 存在可逆之 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 皆为上三角的.

Solution ☆Lemma 设 $A,B\in\text{M}_{n\times n}(F)$, 则 $AB=BA\Longleftrightarrow A,B$ 有公共的特征向量.

Proof 设 $A$ 的特征值 $\lambda$ 对应的特征子空间为 $V_{\lambda}$, 则 $V_{\lambda}$ 是 $B-$不变子空间. 取 $V_{\lambda}$ 中线性映射 $B\big|_{V_{\lambda}}$ 的任意特征向量 $v$, 则 $v$ 为 $A,B$ 公共的特征向量. ■

考虑对于矩阵阶数 $n$ 归纳. 由Lemma设 $A,B$ 有公共特征向量 $x_1$, 将 $x_1$ 扩充成 $F^n$ 的一组基 $(x_1,\ldots,x_n)$. 令 $P=(x_1,\ldots,x_n)$, 则

$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1&*\\0&A_1 \end{pmatrix},\quad P^{-1}BP=\begin{pmatrix} \nu_1&*\\0&B_1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

由于 $AB=BA$, 因此可以推出 $A_1B_1=B_1A_1$. 由归纳假设知 $A_1,B_1$ 可以同步上三角化, 即存在 $Q_1\in\text{M}_{(n-1)\times (n-1)}(F)$ 使得 $Q_1^{-1}A_1Q_1=\tilde{A_1},Q_1^{-1}B_1Q_1=\tilde{B_1}$ 均为 $\text{M}_{(n-1)\times(n-1)}(F)$ 内的上三角矩阵. 令 $Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&Q_1\end{pmatrix}$, 就有 $Q^{-1}P^{-1}APQ=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&\tilde{A_1}\end{pmatrix}$ 和 $Q^{-1}P^{-1}BPQ=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&\tilde{B_1}\end{pmatrix}$ 均为上三角矩阵. ■

Problem 22. 设 $A$ 和 $B$ 为代数闭域 $F$ 上的 $n\times n$ 矩阵, $AB=BA$ 而 $B^n=0_{n\times n}$. 证明 $A$ 和 $A+B$ 有相同的特征多项式.

Solution 由 $F$ 是代数闭域知, $\operatorname{Char}_A$ 与 $\operatorname{Char}_B$ 在 $F$ 上均分裂; 又因为 $AB=BA$, 因此 $A,B$ 可以同步三角化. 令 $A=PA_1P^{-1},B=PB_1P^{-1}$, 其中 $A_1,B_1$ 是上三角矩阵, 则 $A+B=P(A_1+B_1)P^{-1}$. 又因为上三角矩阵的特征值即为对角线元素, 且 $B$ 幂零 $\Longrightarrow B_1$ 对角线上元素均为 $0$, 因此 $A_1+B_1$ 的对角线与 $A_1$ 完全相同, 因此 $\operatorname{Char}_A=\operatorname{Char}_{A+B}$. ■