Cutx64's solution of EAlg-Notes

Chapter 7. 对角化

Problem 1. 设 VV 为有限维 F−F-向量空间, T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V). 证明若 VV 的每个非零元都是 TT 的特征向量, 则存在 λ∈F\lambda\in F 使得 T=λ⋅idVT=\lambda\cdot\mathrm{id}_V.

Solution ☆Lemma 设 FF 为无限域, V1,…,VmV_1,\ldots,V_m 为 FF-线性空间 VV 的真子空间, 则 ⋃i=1mVi\bigcup_{i=1}^mV_i 真包含于 VV.

Proof

设 TT 的特征值为 λ1,…,λm\lambda_1,\ldots,\lambda_m, 其对应的特征空间依次为 Vλ1,…,VλiV_{\lambda_1},\ldots,V_{\lambda_i}, 则有 ∑i=1mdim⁡Vλi≤dim⁡V\sum_{i=1}^m\dim V_{\lambda_i}\le \dim V 且 ⋃i=1mVλi=V\bigcup_{i=1}^{m}V_{\lambda_i}=V.

  1. 若 FF 是有限域, 设 char⁡F=n\operatorname{char} F=n, 则 ∑i=1m∣Vλi∣=∑i=1mndim⁡Vλi≤n∑i=1mdim⁡Vλi≤ndim⁡V=∣V∣\sum_{i=1}^m\big|V_{\lambda_i}\big|=\sum_{i=1}^mn^{\dim V_{\lambda_i}}\le n^{\sum_{i=1}^m\dim V_{\lambda_i}}\le n^{\dim V}=|V|, 当且仅当 m=1m=1 且 Vλ1=VV_{\lambda_1}=V 时等号成立;
  2. 若 FF 是无限域, 由Lemma知当 m≥2m\ge 2 时 ⋃i=1mVλi⊊V\bigcup_{i=1}^{m}V_{\lambda_i}\subsetneq V, 矛盾, 因此 m=1m=1.

因此有 m=1m=1 且 Vλ1=VV_{\lambda_1}=V. 故存在 λ∈F\lambda\in F 使得 T−λ⋅idV=0T-\lambda\cdot \mathrm{id}_V=0, 即 T=λ⋅idVT=\lambda\cdot \mathrm{id}_V. ■

Problem 5. 满足 A2=AA^2=A 的 A∈Mn×n(F)A\in \text{M}_{n\times n}(F) 称为幂等矩阵. 证明幂等矩阵总能对角化, 并且其特征值都属于 {0,1}\{0,1\}.

Solution 幂等矩阵 AA 的极小多项式为 f(x)=x2−xf(x)=x^2-x, 因此幂等矩阵在 FF 上的特征值只有 00 和 11; 又因为 f(x)f(x) 在域 FF 上分裂且无重根, 因此幂等矩阵均可对角化. ■

Problem 6. 设 A,B∈Mn×n(F)A,B\in\text{M}_{n\times n}(F). 证明若 AB=BAAB=BA, 而且 AA 在 FF 上有 nn 个相异的特征值, 则存在多项式 f∈F[X]f\in F[X] 使得 B=f(A)B=f(A).

Solution ☆Lemma 设 A,B∈Mn×n(F)A,B\in\text{M}_{n\times n}(F) 且 AA 在 FF 上有 nn 个相异的特征值, 若 AB=BAAB=BA, 则 A,BA,B 可同步对角化.

Proof 设 A=P−1D1PA=P^{-1}D_1P, 其中 PP 是可逆矩阵且 D1D_1 是对角矩阵, 因为 AA 的 nn 个特征值相异, 因此 D1D_1 对角线上的元素各不相同. 设 D2=PBP−1D_2=PBP^{-1}, 则由 AB=BAAB=BA 知 D1D2=D2D1D_1D_2=D_2D_1, 结合 D1D_1 对角线元素互不相同知 D2D_2 也是对角矩阵, 故 A,BA,B 可同步对角化. ■

由Lemma知 A,BA,B 可同步对角化. 设 A=PA1P−1,B=PB1P−1A=PA_1P^{-1},B=PB_1P^{-1}, 其中 A1,B1A_1,B_1 为对角矩阵, 设 V={D∈Mn×n(F)∣D是对角矩阵}V=\{D\in\text{M}_{n\times n}(F)|D \text{是对角矩阵} \}, 则 VV 是 F−F-线性空间且 dim⁡FV=n\dim_FV=n. 又由于 AA 有 nn 个相异的特征值, 因此 {A10,A11,⋯ ,A1n−1}\{A_1^{0}, A_1^{1}, \cdots, A_1^{n-1}\} 构成 VV 的一组基, 因此存在 c0,c1,…,cn−1∈Fc_0,c_1,\ldots,c_{n-1}\in F 使得 B1=∑i=0n−1ciA1iB_1=\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_iA_1^{i}, 即存在 F[X]F[X] 中的多项式 f(x)=c0+c1x+⋯+cn−1xn−1f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1} 使得 B=f(A)B=f(A). ■

Problem 7. 对所有列向量 v,w∈Fnv,w\in F^n 确定 n×nn\times n 矩阵 v⋅   ⁣twv\cdot \;\!{}^tw 的特征多项式, 讨论它可否对角化.

Solution 由 XChar⁡v⋅   ⁣tw=XnChar⁡   ⁣tw⋅vX\operatorname{Char}_{v\cdot \;\!{}^tw}=X^n\operatorname{Char}_{\;\!{}^tw\cdot v} 知, Char⁡v⋅   ⁣tw=Xn−1(X−   ⁣tw⋅v)\operatorname{Char}_{v\cdot \;\!{}^tw}=X^{n-1}(X-\;\!{}^tw\cdot v). 设 V={x∈F∣v   ⁣tw⋅x=0}V=\{x\in F\mid v\;\!{}^tw\cdot x=0\}, 则 V={x∈F∣   ⁣tw⋅x=0}V=\{x\in F\mid \;\!{}^tw\cdot x=0\}, 于是有 dim⁡FV=n−1\dim_FV=n-1, 即特征值 00 的几何重数为 n−1n-1; 而其代数重数也是 n−1n-1. 故 v⋅   ⁣twv\cdot \;\!{}^tw 可对角化. ■

Problem 9. 设 A∈Mn×n(C)A\in\text{M}_{n\times n}(\mathbb C) 满足 AN=1n×nA^N=\textbf{1}_{n\times n}, 其中 NN 是正整数, 说明 AA 可对角化. 另一方面, 举出 A∈M2×2(F2)A\in\text{M}_{2\times 2}(\mathbb F_2) 的例子, 使得 A2=12×2A^2=\textbf{1}_{2\times 2} 而 AA 在 F2\mathbb F_2 的任何扩域上都无法对角化.

Solution

  1. 设多项式 f(x)=xN−1f(x)=x^N-1, 则 AA 的极小多项式 Min⁡A∣f(x)\operatorname{Min}_A\mid f(x). 由于 f(x)f(x) 在 C\mathbb C 上的 NN 个根互不相同, 因此 AA 的极小多项式在 C\mathbb C 上无重根, 因此 AA 可在 C\mathbb C 上对角化.
  2. 令 A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, 则 A2=12×2A^2=\textbf{1}_{2\times 2}, 因此 AA 在 F2\mathbb F_2 上的极小多项式为 MinA,F2=x2−1=(x+1)2\text{Min}_{A,\mathbb F_2}=x^2-1=(x+1)^2. 因此对于任意的域扩张 F2k/F2\mathbb F_{2^k}/\mathbb F_2 均有 MinA,F2k=MinA,F2=(x+1)2\text{Min}_{A,\mathbb F_{2^k}}=\text{Min}_{A,\mathbb F_{2}}=(x+1)^2, 其在 F2k\mathbb F_{2^k} 上有重根, 因此 AA 在任意的 F2k\mathbb F_{2^k} 上均不可对角化. ■

Problem 11. 设 VV 为有限维 R−\mathbb R-向量空间, V≠{0}V\neq \{0\}, 而 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V). 证明或者 TT 有特征向量, 或者存在 22 维的 T−T-不变子空间.

Solution 不妨设 TT 没有特征向量, 则其特征值均为复数. 考虑 TT 的极小多项式 MinT\text{Min}_{T}, 则 MinT\text{Min}_{T} 可以拆分为若干个 R\mathbb R 上的二次式之积.

Problem 14. 设 A∈Mn×n(F)A\in\text{M}_{n\times n}(F) 幂零, 证明:

  1. AA 的唯一特征值是 00,
  2. Char⁡A=Xn\operatorname{Char}_A=X^{n},
  3. AA 可对角化当且仅当 A=0n×nA=0_{n\times n}.

Solution

  1. 设 Ak=0A^{k}=0. 若 λ\lambda 为 AA 的特征值, 则 λk\lambda^k 为 AkA^k 的特征值, 而零矩阵的特征值只有 00, 因此 λ=0\lambda=0.
  2. 由 deg⁡Char⁡A=n\deg \operatorname{Char}_A=n 且 AA 的特征值只有 00 知 Char⁡A=Xn\operatorname{Char}_A=X^n;
  3. 若 A≠0A\neq 0, 则特征值 00 对应的特征子空间 VV 为 FnF^{n} 的真子空间, 从而特征值 00 的几何重数 <n<n; 但特征值 00 的代数重数恒为 nn, 因此此时 AA 不可对角化. ■

Problem 16. 证明 A∈Mn×n(F)A\in\text{M}_{n\times n}(F) 幂零当且仅当存在可逆的 PP 使得 P−1APP^{-1}AP 是对角线全为 00 的上三角矩阵.

Solution 必要性显然. 充分性; 由于幂零矩阵的特征多项式分裂, 因此幂零矩阵可上三角化, 其上三角化后即变为对角线全为 00 的上三角矩阵. ■

Problem 17. 设 A=(ab)∈M2×2(R)A=\begin{pmatrix}a&\\&b\end{pmatrix}\in\text{M}_{2\times 2}(\mathbb R), 其中 a≠ba\neq b 而且 a<0a<0. 证明不存在 B∈M2×2(R)B\in \text M_{2\times 2}(\mathbb R) 使得 B2=AB^2=A.

Solution AA 的特征值为 λ1=a,λ2=b\lambda_1=a,\lambda_2=b. 若存在这样的 BB, 设 BB 的特征值为 μ1,μ2\mu_1,\mu_2, 则由 B2=AB^2=A 知 μ12=λ1,μ22=λ2\mu_1^2=\lambda_1,\mu_2^2=\lambda_2, 可以推出 μ1,μ2\mu_1,\mu_2 一个为实数, 另一个为虚数. 而 μ1,μ2\mu_1,\mu_2 为某实系数二次方程的两根, 这显然不合理. ■

Problem 18. 证明若 Char⁡A=∏i=1n(X−λi)\operatorname{Char}_A=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i), 则 Char⁡A∨=∏i=1n(X−Λi)\operatorname{Char}_{A^{\lor}}=\prod_{i=1}^{n}(X-\Lambda_i), 其中 Λi:=λ1⋯λi−1λi+1⋯λn\Lambda_i:=\lambda_1\cdots\lambda_{i-1}\lambda_{i+1}\cdots\lambda_{n}.

Solution

Problem 20. 设 A∈Mm×n(F),B∈Mn×m(F)A\in\text{M}_{m\times n}(F), B\in\text{M}_{n\times m}(F). 证明: ABAB 和 BABA 具有相同的非零特征值.

Solution 设 X∈FX\in F, 则有

X−mdet⁡(XIm−AB)=det⁡(Im−X−1AB)=det⁡(In−X−1BA)=X−ndet⁡(XIn−BA)\begin{aligned} X^{-m}\det(XI_m-AB)&=\det(I_m-X^{-1}AB)\\ &=\det(I_n-X^{-1}BA)\\ &=X^{-n}\det(XI_n-BA) \end{aligned}

即有 XnChar⁡AB=XmChar⁡BAX^n\operatorname{Char}_{AB}=X^m\operatorname{Char}_{BA}. ■

☆Problem 21. 设 A,B∈Mn×n(F)A,B\in\text{M}_{n\times n}(F). 证明如果它们的特征多项式均分裂, 而且 AB=BAAB=BA, 则它们可以同步上三角化: 存在可逆之 PP 使得 P−1APP^{-1}AP 和 P−1BPP^{-1}BP 皆为上三角的.

Solution ☆Lemma 设 A,B∈Mn×n(F)A,B\in\text{M}_{n\times n}(F), 则 AB=BA⟺A,BAB=BA\Longleftrightarrow A,B 有公共的特征向量.

Proof 设 AA 的特征值 λ\lambda 对应的特征子空间为 VλV_{\lambda}, 则 VλV_{\lambda} 是 B−B-不变子空间. 取 VλV_{\lambda} 中线性映射 B∣VλB\big|_{V_{\lambda}} 的任意特征向量 vv, 则 vv 为 A,BA,B 公共的特征向量. ■

考虑对于矩阵阶数 nn 归纳. 由Lemma设 A,BA,B 有公共特征向量 x1x_1, 将 x1x_1 扩充成 FnF^n 的一组基 (x1,…,xn)(x_1,\ldots,x_n). 令 P=(x1,…,xn)P=(x_1,\ldots,x_n), 则

P−1AP=(λ1∗0A1),P−1BP=(ν1∗0B1)\begin{aligned} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1&*\\0&A_1 \end{pmatrix},\quad P^{-1}BP=\begin{pmatrix} \nu_1&*\\0&B_1 \end{pmatrix} \end{aligned}

由于 AB=BAAB=BA, 因此可以推出 A1B1=B1A1A_1B_1=B_1A_1. 由归纳假设知 A1,B1A_1,B_1 可以同步上三角化, 即存在 Q1∈M(n−1)×(n−1)(F)Q_1\in\text{M}_{(n-1)\times (n-1)}(F) 使得 Q1−1A1Q1=A1~,Q1−1B1Q1=B1~Q_1^{-1}A_1Q_1=\tilde{A_1},Q_1^{-1}B_1Q_1=\tilde{B_1} 均为 M(n−1)×(n−1)(F)\text{M}_{(n-1)\times(n-1)}(F) 内的上三角矩阵. 令 Q=(100Q1)Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&Q_1\end{pmatrix}, 就有 Q−1P−1APQ=(λ1∗0A1~)Q^{-1}P^{-1}APQ=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&\tilde{A_1}\end{pmatrix} 和 Q−1P−1BPQ=(λ1∗0B1~)Q^{-1}P^{-1}BPQ=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&\tilde{B_1}\end{pmatrix} 均为上三角矩阵. ■

Problem 22. 设 AA 和 BB 为代数闭域 FF 上的 n×nn\times n 矩阵, AB=BAAB=BA 而 Bn=0n×nB^n=0_{n\times n}. 证明 AA 和 A+BA+B 有相同的特征多项式.

Solution 由 FF 是代数闭域知, Char⁡A\operatorname{Char}_A 与 Char⁡B\operatorname{Char}_B 在 FF 上均分裂; 又因为 AB=BAAB=BA, 因此 A,BA,B 可以同步三角化. 令 A=PA1P−1,B=PB1P−1A=PA_1P^{-1},B=PB_1P^{-1}, 其中 A1,B1A_1,B_1 是上三角矩阵, 则 A+B=P(A1+B1)P−1A+B=P(A_1+B_1)P^{-1}. 又因为上三角矩阵的特征值即为对角线元素, 且 BB 幂零 ⟹B1\Longrightarrow B_1 对角线上元素均为 00, 因此 A1+B1A_1+B_1 的对角线与 A1A_1 完全相同, 因此 Char⁡A=Char⁡A+B\operatorname{Char}_A=\operatorname{Char}_{A+B}. ■